Center of Mechanics - IMES - ETH Zurich

Fokussierung von Pulsen mittels Anwendung einer FDM-Simulation und der Methode der Zeitumkehr

Beim Pipettieren von kleinen Volumina im Mikro- und Nanoliterbereich lösen die Tropfen nicht alleine von der Pipettiernadel ab, da die Adhäsionskräfte die Gravitationskräfte überschreiten. Deswegen werden meistens die Tropfen in einem anderen Fluid abgegeben, was aber nach jeder Tropfenabgabe eine Reinigung der Nadel bedingt, um eine Verschleppung von Proben und Reagenzien zu vermeiden. Eine berührungsfreie Tropfenabgabe würde also eine wesentliche Zeitersparnis bedeuten (Abbildung 8).

Abbildung 8: Vorteil der berührungsfreien Tropfenabgabe.

Die Methode der Tropfenabgabe nach dem Prinzip des Tintenstrahldruckers kann hier nicht angewandt werden. Zum einen würde die benötigte Düse eine hinreichende Reinigung verhindern und zum anderen muss die Pipettiernadel lang und stabil sein, um das Fluid in den Normbehältern zu erreichen und um Deckel durchstechen zu können.

Deswegen wurde die Idee verfolgt, die Dispersionseigenschaften der Pipettiernadel zu nutzen, indem ein Puls berechnet wird, der an der Nadelspitze zu einer Energiefokussierung führt und somit einen Tropfen ablöst. Vorversuche zeigten, dass es notwendig ist, das ganze System der Pipettiernadel mit Fluidfüllung und Piezoaktor zu simulieren. Verwendet wird hierzu die Methode der finiten Differenzen (FDM). Der Puls zur Energiefokussierung wird mit einer Methode der Zeitumkehr bestimmt.

Der FDM-Code verwendet zentrale Differenzen 2. Ordnung und ein "staggered grid" in Raum und Zeit (dabei werden die Geschwindigkeiten im Fluid zeitlich versetzt zu den anderen Grössen berechnet). Das Fluid wird als akustisches Fluid modelliert. Simuliert wird eine allseits freie Kapillare unter Umgebungsdruck. Der Anregungspiezo befindet sich bündig mit der linken Stirnfläche auf der Mantelfläche der Kapillare. Es wird von einer perfekten Haftung ausgegangen. Der Piezo ist in axialer Richtung polarisiert und seine Elektroden befinden sich auf den Mantelflächen, so dass der Piezo vor allem Scherdeformation in axialer Richtung ausführt. Die Abmasse sind Abbildung 9 zu entnehmen.

Abbildung 9: Skizze des untersuchten Aufbaus.

Der FDM-Code wurde durch Vergleiche von Ergebnissen aus Experimenten und anderen Berechnungen verifiziert. Abbildung 10 zeigt den Vergleich der Dispersionskurven der fluidgefüllten Kapillare aus einem numerischen Dispersionsexperiment mit dem FDM-Code und aus Berechnungen des Programmes DISPERSE vom Imperial College, London.

Abbildung 10: Verifikation des FDM-Codes. Vergleich der Dispersionskurven für die fluidgefüllte Kapillare aus dem numerischen Experiment mit dem FDM-Code aus Berechnungen mit DISPERSE. Mit "n = 0" sind die axialsymmetrischen Moden gekennzeichnet.

Zur Verifikation des FDM-Codes für den Piezo wurden die Zeitverläufe der radialen Auslenkungen auf der Mantelfläche der Kapillare 200 mm entfernt von der linken Stirnfläche aufgenommen (Abbildung 11). Verglichen wurden experimentelle Daten mit Werten aus der FDM-Simulation. Unterschiede sind begründet durch eine Phasenverschiebung aufgrund der Messkette, ein Übersprechen der Anregung und durch eine andere Polarisation des Anregungspulses.

Abbildung 11: Verifikation des FDM-Codes für den Piezo. Aufnahme der Zeitverläufe der radialen Auslenkung 200 mm entfernt von der linken Stirnfläche. Vergleich von experimentellen Daten mit Simulationsergebnissen.

Ergebnisse der Simulationen sind in den folgenden Beispielen zu sehen. Abbildung 12 und die entsprechende Animation zeigen die Ausbreitung eines Schmalbandpulses im Rohr ohne Fluidfüllung und ohne Piezoanregung nach Anregung der Auslenkungen an der linken Stirnfläche. Nur ein Wellenmode entsteht bei der Anregungsfrequenz von 800 kHz. In Abbildung 13 bei der Simulation des fluidgefüllten Rohres ohne Piezoanregung sind deutlich der Rohrmode und der Fluidmode zu erkennen (Anregung der Auslenkung an der linken Stirnfläche mit Schmalbandpuls von 400 kHz), die sich stark in Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit unterscheiden. In Abbildung 14 wird das komplette System simuliert. Angeregt wurde das elektrische Potential an der Aussenelektrode des Piezos mit einem Schmalbandpuls von 400 kHz.

Abbildung 12: Simulation der Wellenausbreitung im Rohr ohne Fluidfüllung und ohne Piezoanregung. (Zum Starten der Animation auf das Bild klicken.)

Abbildung 13: Simulation der Wellenausbreitung im Rohr mit Fluidfüllung und ohne Piezoanregung. (Zum Starten der Animation auf das Bild klicken.)

Abbildung 14: Simulation der Wellenausbreitung im Rohr mit Fluidfüllung und mit Piezoanregung. (Zum Starten der Animation auf das Bild klicken.)

Zur Fokussierung eines Pulses wird die Methode der Zeitumkehr angewendet. Abbildung 15 illustriert das Prinzip. Diese Methode kann bei nichtdissipativen Systemen angewendet werden. Da das Fluid als akustisches Fluid modelliert wurde, tauchen im FDM-Code keine dissipativen Terme auf und die Methode kann angewendet werden.

Abbildung 15: Prinzip der Fokussierung nach der Methode der Zeitumkehr.

Das Prinzip der Fokussierung wird im numerischen Experiment nachgewiesen. Angeregt wird ein Sollpuls, der aus drei Schmalbandpulsen mit Frequenzen von 0.5 MHz, 1.2 MHz und 2.7 MHz besteht, in der Axialauslenkung am Innendurchmesser der rechten Stirnfläche. Aufgezeichnet werden entweder die Auslenkungen und Geschwindigkeiten auf der rechten Stirnfläche (bei der Simulation des Systems ohne Piezoanregung) oder das elektrische Potential auf der Aussenelektrode des Piezos (bei der Simulation des Systems mit Piezoanregung). Diese Signale werden zeitlich begrenzt und invertiert und als Anregung in einer weiteren Simulation verwendet. Die entstehenden Wellen führen dann zum Istpuls am Innendurchmesser der rechten Stirnfläche, der mit dem Sollpuls verglichen wird. Abbildung 16 zeigt das Zeitsignal und das Spektrum des verwendeten Sollpulses.

Abbildung 16: Zeitsignal und Spektrum des Sollpulses.

Bei der Simulation des Rohres ohne Fluidfüllung und ohne Piezoanregung ergibt die Aufzeichnung der Auslenkungen am Innendurchmesser der linken Stirnfläche insgesamt fünf Pulse in dem betrachteten Zeitfenster (Abbildung 17). Der letzte Puls ist ein Puls, der das Rohr bereits schon dreimal durchlaufen hat. Deswegen wird er bei beim Zurückspielen nicht berücksichtigt. Die anderen Pulse bestehen aus einem Puls mit Frequenz 0.5 MHz, einem Puls mit 1.2 MHz und zwei Pulsen mit 2.7 MHz, weil bei dieser Frequenz bereits zwei axialsymmetrische Wellenmoden existieren.

Abbildung 17: Zeitsignal am Innendurchmesser der linken Stirnfläche nach Anregung des Sollpulses an der rechten Stirnfläche.

Dementsprechend entstehen beim Zurückspielen insgesamt sechs Pulse, wovon vier wie gewünscht fokussieren. Die beiden anderen sind unvermeidlich, stören aber die Fokussierung nicht, da sie zeitlich separiert an der rechten Stirnfläche eintreffen (Abbildung 18).

Abbildung 18: Zeitsignal am Innendurchmesser der rechten Stirnfläche nach Anregung der zeitlich invertierten Sollanregung (Simulation des Rohrs ohne Fluidfüllung und ohne Piezoanregung).

Abbildung 19 zeigt das Zurückspielen der Sollanregung und das Fokussieren des Pulses in einer Animation.

Abbildung 19: Simulation der Pulsfokussierung im Rohr ohne Fluidfüllung und ohne Piezoanregung. (Zum Starten der Animation auf das Bild klicken.)

Ein Vergleich dieses Istpulses (grau unterlegt in Abbildung 18) mit dem Sollpuls zeigt eine nicht ganz perfekte Übereinstimmung in den Amplituden der Schmalbandpulse. Dies liegt an den unterschiedlichen Verschiebungsverteilungen der Moden über dem Querschnitt, die verhindern, dass beliebige Amplituden angeregt werden können.

Der Fluidmode ist wesentlich langsamer als die Rohrmoden. Soll der Fluidmode beim Zurückspielen berücksichtigt werden, so werden unvermeidlich auch die reflektierten Rohrpulse zurückgespielt. Deswegen wird auf das Zurückspielen der Fluidmoden meistens verzichtet, zumal der Einfluss auf den Piezo (der ja die Anregung darstellt) gering ist.

Bei der Simulation des gesamten Systems werden nicht die Auslenkungen an der Stirnfläche sondern es wird das elektrische Potential an der Aussenelektrode aufgezeichnet. Dieses Signal wird zeitlich begrenzt, invertiert und dann als Sollanregung verwendet. Der daraus resultierende Istpuls ist in Abbildung 20 dargestellt. Der eigentliche Sollpuls ist im Zeitsignal des Istpulses schlecht zu erkennen. Dies liegt an den Resonanzen des verwendeten Piezos, die das kontrollierter Anregen der Sollanregung unmöglich machen. Im Spektrum sind die drei Schmalbandpulse des Sollpulses enthalten, allerdings deutlich verändert.

Abbildung 20: Zeitsignal und Spektrum am Innendurchmesser der rechten Stirnfläche nach Anregung der zeitlich invertierten Sollanregung (Simulation des Rohrs mit Fluidfüllung und mit Piezoanregung).

Das Fokussierprinzip mit der gewählten Methode konnte nachgewiesen werden. Bevor aber dieses Prinzip zur Tropfenablösung angewandt werden kann, muss der Aufbau vor allem in Hinblick auf die Resonanzen der Piezoanregung verbessert werden. Mit dem entwickelten FDM-Code steht ein Werkzeug zur Optimierung des Aufbaus zur Verfügung.


Frank May - 31. Juli 2004